Издателям
Вышедшие номера
Средняя скорость доменных границ в случайно-неоднородных магнетиках
Денисов С.И.1
1Сумский государственный университет, Сумы, Украина
Поступила в редакцию: 30 июля 1996 г.
Выставление онлайн: 19 апреля 1997 г.

1. Одной из наиболее важных динамических характеристик доменных границ (ДГ), движущихся в случайно-неоднородном одноосном магнетике под действием постоянного магнитного поля H, направленного вдоль оси анизотропии, является средняя скорость V. Обычно величина V находится путем решения соответствующего стохастического уравнения движения методом усреднения (см., например, [1-3]). Однако такой подход, основанный на разложении членов исходного уравнения движения по степеням разности между точным и усредненным по неоднородностям среды решениями, не является последовательным, поскольку при больших временах дисперсии этой разности, как правило, расходится. В данной работе развит новый подход к решению проблемы средней скорости движения ДГ в сильно диссипативных случайно-неоднородных магнетиках, позволяющий получить точное выражение для V. Он применим в случаях, когда стохастическое уравнение движения для мгновенной координаты ДГ xi(t) имеет вид xi(t)=mul[H+Gl(xi(t)r)+F(t)r]. (1) Здесь mu --- подвижность ДГ [4], G(x) --- однородная случайная функция, моделирующая влияние неоднородностей среды, а F(t) --- гауссовский белый шум с нулевым средним значением и корреляционной функцией 2Delta delta(t-t') (Delta<=0 --- интенсивность шума, delta(t) --- delta-функция), моделирующий влияние тепловых флуктуаций среды. Положив H<=0 и xi(0)=y, определим среднюю скорость ДГ как V=l/< T(0)>, где T(y) --- среднее время, которое необходимо ДГ, чтобы впервые попасть в точку с координатой x=l (l>0, y=< l) при заданной реализации случайной функции G(x), а угловые скобки обозначают усреднение по реализациям G(x). Согласно [5], T(y) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению Delta T''(y)+mu[H+G(y)]T'(y)=-1. (2) Решая его с граничными условиями T(l)=T'(-бесконечность)=0 [6] и используя однородность случайной функции G(x), получаем искомое выражение для средней скорости ДГ V=Deltagl[ бесконечность0exp (-(mu H)/(Delta)z)gl<exp gl(-(mu)/(Delta) z0G(x)dx gr)gr> dzgr]-1. (3) [!b] Реализация дискретных случайных функций r(x), принимающих значения 1 и -1 ( a) и значения из интервала (-1, 1) ( b). 2. Используя (3), вычислим V в случае, когда G(x)=H0r(x), а r(x) --- дискретная случайная функция, принимающая значения 1 и -1 (рис. 1, a). Пусть на интервале (0, z) случайная функция r(x) имеет n изменений знака в точках xi=s1+...+si (i=1,...,n), принадлежащих неперекрывающимся бесконечно малым интервалам dsi, а плотность вероятности p1(s) изменения знака r(x) в точке x зависит только от расстояния s между этой точкой и местом предыдущего изменения знака. Тогда вероятность всех реализаций r(x), которые в интервалах dsi меняют знак, равна dWnz=p0(s1)p1(s2)... p1(sn)P1(sn+1) ds1... dsn. (4) Здесь sn+1=z-xn, p0(s1)=бесконечностьs1(p1(s)/s)ds --- плотность вероятности того, что первое изменение знака функции r(x) на интервале (0, z) произойдет в точке x=s1, а p1(sn+1)=бесконечностьn+1p1(s)ds --- вероятность того, что (n+1)-е изменение знака r(x) произойдет за пределами интервала (0, z). Обозначив вероятность бесконечностьzp0(s)ds тех реализаций r(x), которые на интервале (0, z) не изменяют знака, как P0(z), получаем [b] g< expgl[&-betaz0 r(x)dxgr]g>= P0(z)cos h(beta z) &+бесконечностьn=1Omeganz cos h gl(betan+1i=1(-1)iSigr)dWnz, (5) где beta=mu H0/Delta, а Omeganz --- область интегрирования, определяемая условием xn=< z. Подставим теперь (5) в (3) и преобразуем с помощью delta-функции delta(s1+...+sn+1-z) n-кратный интеграл по области Omeganz в повторный по переменным s1,...,sn+1, изменяющимся в пределах от нуля до бесконечности. В результате, проинтегрировав по z, введя обозначения ( U±lambda [2mm] u±lambda )= бесконечность0 e-x(alpha±beta) ( Plambda(x) [2mm] plambda(x) )dx    lambda=0, 1 (6) (alpha=mu H/Delta) и просуммировав ряды, сводящиеся к бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем u+1u-1, при u+1u-1<=1 получаем V=0, а при u+1u-1<1 [b] V=& 2Delta gl[ U+0 + U-0 [2mm] &+ (U+1u-0+ U-1u+0+ U+1u+0u-1+U-1u-0u+1)/(1-u+1u-1) gr]-1. (7) Отметим, что условие u+1u-1=1, рассматриваемое как уравнение относительно H, определяет поле динамической коэрцитивности ДГ Hc. В частном случае, когда p1(s)=(1/rc)exp(-s/rc), имеем Hc=H0[(1+b2)1/2-1]/b, V=0 при H=< Hc и [b] V=&mu H0 gl[ (b2)/(a2+2a-b2) gl((1+a+b)/((a+b)2) ln(1+a+b) [2mm] &- (1+a-b)/((a-b)2) ln(1+a-b)gr)+ (ab)/(a2-b2)gr]-1 (8) (a=alpha rc, b=beta rc) при H>Hc. Согласно (8), V=mu H при H>> Hc и V=muchi(H-Hc) (chi<=1) при H-Hc<< Hc. В пределе низких температур (Delta->0) получаем Hc=H0 и V=mu(H2-H2c)/H (кривая 1 на рис. 2). Качественно такая же зависимость V от H с chi~2 была получена экспериментальным путем в пленках ферритов-гранатов [7]. В случае же, когда rc->0, H0->бесконечность, а H20rc=const, отвечающем delta-коррелированной G(x), формула (8) дает известный результат [8,9] V=mu(H-Hc) (кривая 2 на рис. 2). 3. Пусть теперь r(x) --- дискретная случайная функция с непрерывной областью значений (-1, 1) (рис. 1, b). Если плотность вероятности p1(s) скачка случайной функции r(x) зависит только от расстояния s до предыдущего скачка, а плотность вероятности w(r) того, что r(xi+0)=r (xi --- координаты скачков r(x) на интервале (0, z)), зависит только от r, то, поступая как в предыдущем разделе, находим V=(Delta(1-g1))/(G0(1-g1)+G1g0) (9) при H>Hc и V=0 при H=< Hc, где Hc --- решение уравнения g1=1 относительно H, ( Glambda [2mm] glambda )= 1-1бесконечность0 e-x(alpha+beta r)w(r) ( Plambda(x) [2mm] plambda(x) )dx dr. (10) [!t] Зависимости v=V/mu Hc от h=H/Hc, рассчитанные по формуле (8) при Delta=0 (1) и rc->0, H0->бесконечность, H20rc=const (2), а также по формуле (11) при Delta=0 (3). Если усреднение в (3) проводить лишь по тем реализациям r(x), которые в начале координат имеют скачок, тогда нулевые индексы в (9) следует заменить на единичные. Полагая в этом случае, что w(r)=1/2 и p1(s)=(1/rc)exp(-s/rc), получаем V=mu H0 [2(ln(1+a+b)/(1+a-b))-1-(1)/(b)] (11) и Hc=H0(coth b-1/b). В пределе низких температур, формально отвечающем случаю rc->бесконечность, имеем Hc=H0 и V=2mu Hcln-1l((H+Hc)/(H-Hc)r) (кривая 3 на рис. 2). Подобная зависимость V от H с chi>>1 наблюдалась, в частности, в [10]. Таким образом, для двух классов дискретных случайных функций G(x), моделирующих влияние неоднородностей магнетика, найдены точные выражения для средней скорости ДГ V и поля динамической коэрцитивности Hc. Показано, что поведение V как функции внешнего магнитного поля H при H~ Hc определяется статистическими характеристиками G(x), в том числе корреляционным радиусом rc. Конечные (не равные нулю) значения rc обусловливают наблюдаемую в эксперименте сильную зависимость V от H при H~ Hc.
  • А.Н. Аверкин. ФТТ 23, 6, 1573 (1981)
  • М.В. Фейгельман. ЖЭТФ 85, 5, 1851 (1983)
  • С.И. Денисов, И.В. Суходольский. Докл. АН УССР 6, 59 (1991)
  • А. Малоземов, Дж. Слонзуски. Доменные стенки в материалах с цилиндрическими магнитными доменами / Пер. с англ.; Под ред. Г.А. Смоленского, Р.В. Писарева. М. (1982). 384 с
  • К.В. Гардинер. Стохастические методы в естественных науках / Пер. с англ.; Под ред. Р.Л. Стратоновича. М. (1986). 528 с
  • S.I. Denisov. J. Magn. Mater. 147, 406 (1995)
  • Ф.Г. Барьяхтар, А.М. Гришин, Ю.А. Кузин, Ю.В. Мелихов, А.М. Редченко. Письма в ЖТФ 14, 24, 2285 (1988)
  • B. Derrida. J. Stat. Phys. 31, 3, 433 (1983)
  • J.P. Bouchaud, A. Georges. Phys. Rep. 195, 4--5, 124 (1990)
  • В.С. Горнаков, В.И. Никитенко, И.А. Прудников. Письма в ЖЭТФ 55, 1, 44 (1992)
  • Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

    Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.