"Журнал технической физики"
Издателям
Вышедшие номера
Задача электростатики для сжатого сфероида в поле точечного заряда
Гордион И.М.1, Токман И.Д.1
1Институт физики микроструктур РАН,, Нижний Новгород, Россия
Поступила в редакцию: 25 октября 1995 г.
Выставление онлайн: 20 января 1997 г.

Введение Задача о диэлектрическом теле в неоднородном статическом поле (речь идет о решениях в явном виде для определенных случаев) имеет давнюю историю. Краткий обзор этого вопроса можно найти, например, в [1,2]. Широко известны аналитические решения задачи о диэлектрическом шаре в неоднородном поле и диэлектрическом эллипсоиде в однородном внешнем поле (см., например, [3]). Явное решение задачи о диэлектрическом эллипсоиде во внешнем поле в случае квадратичного и кубического потенциалов дано в [2]. Нам представляется, что нахождение явных решений имеет самостоятельную ценность наряду с разработкой различных приближенных методов [4]. Нами получено аналитическое решение задачи электростатики для сжатого диэлектрического сфероида в поле точечного заряда, расположенного на оси симметрии сжатого сфероида. Задача решена с помощью разложения в ряд по нормальным решениям уравнения Лапласа в координатах (eta,theta,varphi), связанных со сфероидом. Как пример прикладного использования этой задачи приведен расчет плотности мейсснеровских токов сверхпроводящего диска в магнитном поле диполя, расположенного на оси диска. Решение Пусть сжатый сфероид с полуосями d и R (R>d) и диэлектрической проницаемостью varepsilon рсположен в начале декартовой системы координат (x,y,z), а ось симметрии сфероида совпадает с осью z (рис. 1). Электрический заряд q расположен над сфероидом в точке rq(0,0,a), т. е. необходимо решить уравнения E=-nablavarphi,      Deltavarphi=4pi q·delta( r- rq) (1) с граничными условиями на поверхности сфероида varphiint=varphiext,    varepsilon Enint=Enext. (2) Здесь varphiint, varphiext и Eent, Eext --- электрические потенциал и поле внутри и вне сфероида соответственно. Воспользуемся системой координат (eta,theta,varphi), связанных со сфероидом [5], x=fchetasinthetacosvarphi, y=fchetasinthetasinvarphi, z=fshetacostheta. (3) Здесь f=sqrt(R2-d2)sqrt . При этом поверхность сфероида совпадает с поверхностью eta=eta0, где sheta0=d/sqrt(R2-d2)sqrt, координата заряда rq(eta1,0,0), где sheta1=a/sqrt(R2-d2)sqrt . Так как заряд находится на оси симметрии сфероида, то решение зависит лишь от двух координат (rho,z) и соответственно (eta,theta), где rho=sqrt(x2+y2)sqrt. Величину 1/| rq- r| можно разложить в ряд по нормальным решениям уравнения Лапласа в координатах, связанных со сфероидом [5], (f)/(| rq- r|)=n=0бесконечность(2n+1) Pn(costheta)Qn(isheta1)Pn(isheta), (4) где точки rq и r имеют координаты (eta1,0) и (eta,theta) соответственно; Pn, Qn --- функции Лежандра первого и второго рода n-й степени для комплексного аргумента. Разложение справедливо для eta<eta1. Решение внутри и вне сфероида, следуя [5], представим в виде varphiint=n=0бесконечностьAnPn(costheta)Pn (ish eta), varphiext=n=0бесконечностьBnPn(costheta)Qn (isheta)+(q)/(| rq- r|). (5) Используя (2), (4) и (5), находим коэффициенты An и Bn An=(qsqrt(R2-d2)/())sqrt =<ft. [b] Bn&=(q(varepsilon-1))/(sqrt(R2-d2))sqrt [!tb] [width=]23037-1.eps Диэлектрический сжатый сфероид в поле электрического заряда q. [!b] Распределение плотности мейсснеровского тока сверхпроводящего диска, индуцированного магнитным диполем. Диполь расположен на оси диска на расстоянии a от его поверхности; a=0.6· R ( 1), 0.9· R ( 2), 1.5· R ( 3). Заметим, что при d-> R получаем решение задачи о диэлектрическом шаре в поле точечного электрического заряда varphiint=qn=0бесконечность ((2n+1))/(n(varepsilon+1)+1) Pn(costheta)(rn)/(an+1), (7) а при a->бесконечность получаем решение задачи о диэлектрическом сфероиде в однородном поле varphiint= const+(q)/(a2) (z)/(1+(varepsilon-1)n(z)). (8) Здесь n(z)=(1+sh2eta0)(1-sheta0 arctg(1/sheta0)) --- коэффициент деполяризации сжатого сфероида в направлении оси симметрии. Полученные результаты позволяют найти решение задачи о сверхпроводящем сжатом сфероиде в поле магнитного диполя, расположенного на оси сфероида. Решение этой задачи имеет практическое значение в связи с задачей о магнитном микрозондировании сверхпроводников [6]. Как известно, электростатическая задача формально совпадает с магнитостатической, и, заменив электрическое поле E на магнитное H и устремив varepsilon->0, получим задачу о сверхпроводнике в магнитном поле. Пусть varphiq=qvarphi(a, r) есть потенциал электрического поля, создаваемого зарядом q, расположенным на расстоянии a от диэлектрического сфероида c varepsilon->0. Тогда потенциал точечного диполя, расположенного там же, varphid=qrdvarphi'a(a, r)= mvarphi'a(a, r), (9) где m=qrd --- дипольный момент. Переходя к магнитостатике, найдем магнитное поле H, создаваемое магнитым диполем над сверхпроводящим сфероидом, H=-nablavarphid (10) и поверхностную плотность мейсснеровских токов jm=Lambda Htau|eta=eta0. (11) Здесь Lambda=c/4pi, где c --- скорость света, Htau|tau=tau0 --- тангенциальная компонента поля H. Окончательно получим =<ft. [b] jm&=Lambda(m)/(f3) (sintheta)/((1+sh2eta0) (cos2theta+ sh2eta0)1/2) &x n=0бесконечность(2n+1)P'n(costheta) (Q'n(isheta1))/(Q'n(isheta0)). . (12) Для случая тонкого диска (d/R->0) выражение (12) в полярных координатах (rho=sqrt(x2+y2)sqrt) для ближней к диполю поверхности (0=<costheta=<1, т. е. z>0) записывается в виде =<ft. [b] jn|z>0&=Lambda(m)/(R3) (rho)/(sqrt(R4/(R2-d2)-rho2))sqrt На рис. 2 приведены зависимости jm(rho) при разных расстояниях между диполем и диском для ближней к диполю поверхности диска (z>0). Заметим, что значения jm|z>0>> jm|z<0 (здесь jm|z<0 --- плотность тока на дальней поверхности диска), что вполне очевидно для рассматриваемого случая тонкого диска. Данная работа выполнена при поддержке Российской государственной программы по ВТСП (Проект N 92144) и Российского фонда фундаментальных исследований (Грант N 9302-3362).
  • Левин М.Л. Жизнь, воспоминания, творчество. Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1995. 464 с
  • Левин М.Л., Муратов Р.З. // ЖТФ. 1977. Т. 47. Вып. 12. С. 2464--2471
  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: ГИФМЛ, 1959. 532 с
  • Проценко В.С. // ЖТФ. 1994. Т. 64. Вып. 9. С. 192--194
  • Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИИЛ, 1952. 476 с
  • Nozdrin Yu. et al. // IEEE Trans. on Applied Superconductivity. 1995. Vol. 5. N 2. P. 1424--1427
  • Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

    Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.