Одной из основных характеристик, описывающих поведение магнитных материалов в переменных магнитных полях, считается магнитная проницаемость mu, которая является комплексной величиной mu=mu'-imu''. На частотную зависимость проницаемости оказывают основное влияние 2 процесса: движение доменных границ и вращение вектора намагниченности. Существует большое количество моделей, которыми пользуются при описании и объяснении поведения проницаемости при изменении частоты [1-3]. При этом расчеты, полученные из этих моделей, как правило, достаточно хорошо описывают частотную зависимость проницаемости в узком интервале частот [3]. Это может быть связано с тем, что большинство рассмотренных моделей не учитывает вращение вектора намагниченности. На высоких частотах (например, для железо-иттриевого граната частоты выше 10⁸ Hz [1]) влияние вращения вектора намагниченности становится сравнимым с влиянием движения доменных границ и даже превосходит его, а на низких частотах максимальный вклад вращения вектора намагниченности определяется величиной chi~ M_S/H_A, (где M_S - намагниченность насыщения, H_A - поле анизотропии) и может достигать 20% от вклада движения доменных границ [3]. В других моделях рассматривается только вращение вектора намагниченности, и вследствие этого модели описывают экспериментальные данные в диапазоне высоких частот [1]. В этой работе предлагается модель расчета проницаемости с учетом вкладов как движения доменных границ, так и вращения вектора намагниченности в широком диапазоне частот для поликристаллических ферритов. Проницаемость вычислялась как сумма двух вкладов mu=mu_dom+mu_rot, где mu_dom - проницаемость, обусловленная вкладом движения доменных границ; mu_rot - проницаемость, обусловленная вращением вектора намагниченности. Расчеты проводились в предположении, что внешнее магнитное поле H₀ отсутствует, а поле анизотропии H_A>4pi M_S, что характерно для модели независимых зерен [1]. Применимость модели показана на примере железо-иттриевого граната с примесью алюминия, для которого выполняется условие независимости зерен. Каждая доменная граница характеризуется своей резонансной частотой f₀. С учетом модели независимых зерен будем считать, что пространственная ориентация доменных границ равновероятна для поликристаллической среды. Тогда с учетом функции распределения доменных границ по собственным частотам varphi(f₀) среднюю проницаемость, обусловленную движением доменных границ, можно представить в виде [3] mu_dom'(f)= 1+4pi B _f0min^f_0max f₀ (f₀²-f²+4Ef²alpha²_upr)/((f₀²-f²)²+4alpha²_uprf₀²f²) varphi(f₀)df₀, [b] mu''_dom(f)=& 8pi Balpha f &x _f0min^f₀max (f₀²-Ef₀²+Ef²)/((f₀²-f²)+4alpha_upr²f₀²f²) varphi(f₀)df₀, (1) где f=omega/2pi, B=C^*M_Sf^*₀/4pi f_u, C^*=9.45 MHz/Oe, alpha_upr - квазиупругий коэффициент доменных границ, f_u - частота максимального поглощения в экспериментальном спектре, f₀^* - эффективная резонансная частота, varphi(f₀)df₀ определяет долю резонирующих доменных границ в интервале частот от f₀ до f₀+df₀, при этом varphi(f₀) должна быть нормирована, f_0min - минимальная резонансная частота доменных границ, f_0max - максимальная резонансная частота доменных границ. [!b] [scale=1.1]23777-1.eps Дифференциальная функция распределения резонансных частот доменных границ. Вид функции распределения собственных частот доменных границ varphi(f₀), представленной на рис. 1, взят из [3]. Функция varphi(f₀) должна иметь вид пуассоновского распределения, но для ускорения вычислительного процесса, она была представлена в виде ломаной, по аналогии с [3]. Константы нормировки, частоты f_0min и f_0max, промежуточные частоты для ломаной кривой f₁, f₂, f₃, f₄ и f₅ были подобраны экспериментально. Компоненты проницаемости mu, обусловленные вращением вектора намагниченности, имеют следующий вид [1]: [b] mu'_rot&= 1+4pi l(gamma M_Sf₀(f₀²-(1-alpha²)f²)r) [2mm]&  x l[(f²₀-(1+alpha²)f²)²+4alpha²f²f₀² r]^-1, [b] mu''_rot&= 4pi l(alphagamma M_Sf(f₀²+(1+alpha²)f²)r) [2mm]&  x l[(f₀²-(1+alpha²)f²)²+4alpha²f²f₀² r]^-1, (2) где gamma=2pi*2.8 MHz/Oe - гиромагнитное отношение, M_S - намагниченность насыщения, alpha=f_r/f₀ - параметр диссипации, f₀ - частота ферромагнитного резонанса, f_r - частота релаксации, f - частота магнитного поля. Частоты f₀ и f_r зависят от эффективного поля, H_eff, действующего на магнитный момент в частице поликристалла; f₀=gamma/2pi H_eff, f_r=f_r(H_eff) [4]. Предполагается, что зависимость f_r(H_eff) линейная, поэтому параметр диссипации alpha будем считать константой. При решении задачи alpha варьируется до тех пор, пока не будет получено совпадение экспериментальных и теоретических магнитных спектров. Неоднородности внутреннего поля внутри зерен имеют разные масштабы. Наибольшие неоднородности связаны с формой образца. Мы будем рассматривать домены в виде параллелепипедов или цилиндров. Это связано со следующими причинами: а) простотой формирования доменных структур в кристалле без существенного искажения поля вблизи общей границы соседних доменов; б) возможностью рассматривать изменение поля вдоль одной выделенной оси Z, которое вносит наиболее существенный вклад в поведение поля; в) тем, что хорошо известна зависимость напряженности магнитного поля вдоль его оси в случае магнитного насыщения, а изменением поперечных компонент поля можно пренебречь. Для намагниченного образца (в нашем случае это - домен) длиной L и шириной D размагничивающее поле может быть представлено в виде [5] [b] (H_R(0.xi))/(2pi M_S)=& -2+(1-xi)/([k²+(1-xi)²]^1/2) [2mm]&+ (1+xi)/([k²+(1+xi)²]^1/2), (3) где xi=2z/L, k=D/L, ось Z направлена вдоль оси параллелепипеда. Распределение внутреннего магнитного поля в данном случае имеет вид H(z)=H_A+H_R(z), где H_R - размагничивающее поле, H_A - поле анизотропии. Выше описывалось внутреннее магнитное поле, характерное для одного зерна с одним доменом. При внешнем поле H₀=0 поликристалл феррита имеет многодоменную структуру. Если предположить, что имеются только 180^o-ные доменные границы, то в каждом отдельном зерне вектора намагниченности M в соседних доменах антипараллельны, поэтому число доменов в зерне должно быть четным из-за наличия двух типов 180^o-ных доменов. Будем считать, что каждое зерно поликристалла состоит из двух 180^o-ных доменов и замыкающих доменов. Вклад замыкающих доменов в восприимчивость пренебрежимо мал, поэтому их не учитываем. Увеличение количества пар доменов в зерне поликристалла приводит лишь к уменьшению ширины доменов D и в нашей модели не влияет на конечный результат, а будет менять лишь функцию распределения по ширинам доменов. Мы предполагаем, что ширина и длина доменов удовлетворяют условию D/L<< 1 (т. е. D=< 0.01 L). Был проведен численный эксперимент, из которого было выяснено, что уменьшение отношения D/L, начиная с 0.01, практически не оказывает влияния на конечный результат (значения меняются в пределах менее 1%). В связи с этим распределение по ширине рассматривать не будем. Разброс по длинам доменов (что одновременно является разбросом по длине зерен) будет учтен с помощью функции распределения. Длины L отдельно взятого зерна и домена будут подчиняться некоторому распределению f(L), которое должно удовлетворять следующим условиям: а) функция нормирована ₀^{бесконечность}f(L)dL=1, б) выполняются следующие граничные условия: f(L)=0 при L=0 и f(L)-> 0 при L->бесконечность. В качестве функции распределения было выбрано распределение Пуассона. При учете условий а и б функция распределения f(L) имеет следующий вид: f(L)=(L/< L>²)exp(-L²/2< L>²), где < L> - средняя длина доменов. После нахождения восприимчивости каждого домена проведем усреднение по поликристаллу. При усреднении нужно учесть хаотическую ориентацию направлений намагниченности M зерен относительно оси, вдоль которой распространяется переменное магнитное поле (ось Z). Значение проекции внутреннего (эффективного) поля H_eff вдоль оси Z для случайно ориентированных зерен может быть представлено в виде H_eff=| H_eff|cos(2pipsi), (4) где psi - угол между вектором намагниченности M и осью Z, подчиняется гауссовскому распределению. Выбор гауссовского распределения наиболее применим для модели независимых зерен (H_A>4pi M_S), которая рассматривается в данной работе. Также в зернах могут появляться различные дополнительные поля, которые могут быть связаны с различными неоднородностями внутри кристалликов. Вследствие этого в центре зерна всегда будет присутствовать некоторое постоянное среднее поле. Будем его именовать полем анизотропии, так как именно оно вносит основной вклад. Характерное значение напряженности поля анизотропии, например, для железо-иттриевого граната при комнатной температуре ~80 Oe [6]. Внутреннее магнитное поле в большинстве случаев неоднородно, и это необходимо учитывать. В формулах (2) есть величины, зависящие от внутреннего поля. Для того чтобы найти проницаемость вещества в образце формы параллелепипеда с неоднородным внутренним полем вдоль оси Z, нужно провести усреднение по объему одного домена. При интегрировании разбиваем параллелепипед на тонкие слои достаточно малой толщины dZ (где можем считать H_eff однородным полем) (dmu')/(mu')=(dV)/(V),    dmu'=mu'(dV)/(V),    <mu'>= _V mu'(dV)/(V), (5) где dmu' и dV - магнитная проницаемость и объем тонкого слоя параллелепипеда, mu' и V - проницаемость при наличии однородного поля по всему параллелепипеду и объем кристалла. Из (2), (5) получаем [b] &<mu'_rot>= 1+4pi [2mm] &x _V (gamma²M_SH_eff/ 2pi((2gamma/2pi)²H²_eff -(1-alpha²)f²))/(((gamma/2pi)²H²_eff-(1+alpha²)f²)² + 4alpha²(gamma/2pi)²H²_efff²) (dV)/(V), (6) где V=D²L, dV=D²dL, dL=dZ. Поскольку сечение параллелепипеда постоянно, то можно от интеграла по объему перейти к интегралу по длине L и формула (6) принимает окончательный вид [b] &<mu'_rot>= 1+4pi [2mm] &x _-L/2^L/2 (gamma²M_SH_eff/ 2pi((gamma/2pi)²H²_eff-(1-alpha²)f²))/( ((gamma/2pi)²H²_eff-(1+alpha²)f²)² + 4alpha²(gamma/2pi)²H²_efff²) (dZ)/(L), [b] &<mu''_rot>=4pi [2mm] &x _-L/2^L/2 (alpha gamma M_Sf((gamma/2pi)²H²_eff+ (1+alpha²)f²))/(((gamma/2pi)²H²_eff-(1+alpha²)f²)² + 4alpha²(gamma/2pi)²H²_efff²) (dZ)/(L). (7) Интегралы (7) не могут быть разрешены в аналитическом виде. Поэтому задача расчета проницаемости была сведена к численному интегрированию. На следующем шаге находится средняя проницаемость для всего поликристалла с учетом того, что длина доменов L меняется по функции распределения. Расчеты проводились для железо-иттриевого граната состава Y₂O₃(5-X)Fe₂O₃XAl₂O₃ с примесями алюминия (X=0.7 и 1.5). Для них известны поле анизотропии (H_A~80 Oe), значения намагниченности насыщения (M_S=61 и 13 Gs) и экспериментальные частотные зависимости проницаемости в широком диапазоне частот [6]. Кроме того, для этих образцов пики потерь, обусловленные движением доменных границ и вращением вектора намагниченности, наблюдаются в разном диапазоне частот, что, несомненно, важно для отработки данной модели. Варьирование функции распределения по длинам зерен показало, что для данного образца наиболее оптимальная средняя длина зерен < L>=2.5 mum. Действительно, размеры частиц в поликристаллических ферритах имеют указанный средних размер [6]. Мы приняли в нашей модели D/L<< 1, что также выполняется для железо-иттриевого граната с примесью алюминия, что связано с тем, что использованные экспериментальные данные были получены на образце в виде тора [7]. Была проведена оценка среднего магнитного поля существующего внутри зерен поликристалла. Исходя из полученных результатов, среднее поле (поле анизотропии, размагничивающее поле, поля магнитострикции) одинаково для железо-иттриевых гранатов обоих составов и составляет 157 Oe, т. е. среднее поле в центре зерен поликристалла, как правило, превышает поле анизотропии (H_A~ 80 Oe). Минимальные и максимальные резонансные частоты движения доменных границ для данных образцов составляют f_0min=13 MHz и f_0max=51 MHz с промежуточными частотами (в MHz) для ломаной кривой f₁=13.2 MHz, f₂=13.5 MHz, f₃=13.8 MHz, f₄=15.6 MHz и f₅=18 MHz и частой абсорбции f_u=10⁷ MHz для X=0.7. Для X=1.5 f_0min=20 MHz, f_0max=58 MHz, f₁=20.2 MHz, f₂=20.5 MHz, f₃=20.8 MHz, f₄=22.6 MHz и f₅=25 MHz, f_u=2.3·10⁷ MHz. Параметр E=1 и квазиупругий коэффициент alpha_upr=0.56 (Oe·Gs)/cm использовались одинаковыми для обоих образцов. В ходе дальнейших численных экспериментов было выяснено, что для железо-иттриевого граната с X=0.7 alpha=0.8 и частота спиновой релаксации omega_r=2pi f_r=0.8omega₀, а для X=1.5 коэффициент диссипации alpha=0.57 и omega_r=2pi f_r=0.57omega₀ соответственно, что очень хорошо коррелирует с данными, полученными в работе [8]. [!b] [width=]23777-2.eps Зависимость мнимой и действительной компонент магнитной восприимчивости от частоты для железо-иттриевого граната при X=0.7. [!tb] То же, что на рис. 2, при X=1.5. На рис. 2 представлены частотные зависимости компонент магнитной проницаемости для железо-иттриевого граната состава Y₂O₃(5-X)Fe₂O₃XAl₂O₃ с примесью алюминия X=0.7. Сплошная линия на рис. 2 соответствует экспериментальным данным, а штриховая - теоретическим значениям, полученным с помощью модели независимых зерен. Видно, что формы теоретического и экспериментального графиков не очень хорошо совпадают друг с другом, хотя экспериментальные и теоретические значения на разных частотах действительной части проницаемости близки (различие составляет не более 20%). Это объясняется тем, что для данного феррита не выполняется условие независимости зерен H_A>4pi M_S. Как видно из рис. 2, для данного феррита взаимодействие магнитных подсистем зерен приводит к изменению резонансных частот и частот рекомбинации. Чтобы учесть влияние зерен друг на друга, необходимо ввести в модель другую функцию распределения, учитывающую магнитное взаимодействие между доменами в соседних зернах. Для железо-иттриевого граната состава Y₂O₃(5-X)Fe₂O₃XAl₂O₃ с X=1.5 были получены зависимости, представленные на рис. 3 (сплошная линия - эксперимент, штриховая - теоретический результат). Из рис. 3 видно, что частотные зависимости для данного феррита очень хорошо согласуются с экспериментальными данными. Таким образом, для поликристаллов, для которых выполнено условие H_A>4pi M_S, модель поликристалла с независимыми зернами, в которой учитывается как движение доменных границ, так и вращение вектора намагниченности, позволяет с хорошей точностью получать частотные зависимости магнитной проницаемости. Это, несомненно, важно для того, чтобы использовать данную модель при расчете магнитной проницаемости ферритовых поликристаллических сред с заданными частотными свойствами.

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.