Параметрическое рентгеновское излучение, обусловленное периодической структурой кристалла, ввиду высокой симметрии кристалла часто оказывается в условиях многоволновой дифракции [1,2] (четырехлучевая и восьмилучевая дифракция в эксперименте [2]). В отличие от симметричных спектральных и угловых распределений, рассчитанных в двухволновом приближении [3,4], в режиме многоволновой дифракции характерно появление узких и высоких максимумов, а сами распределения (эксперимент [2]) оказываются резко асимметричными. Интенсивность излучения может быть найдена интегрированием решений граничной задачи для однородных уравнений Максвелла на больших расстояниях от кристалла [3,5]. Однако решение граничной рентгенооптической задачи в условиях многоволновой дифракции возможно только для отдельных геометрий и выделенных направлений [6], поэтому возможны только численные расчеты [5]. С другой стороны, интенсивность излучения с единицы длины траектории частицы (радиационные потери) находится интегрированием неоднородных уравнений без решения граничной задачи, что было кратко изложено на примере двухволнового приближения в [4]. Оба подхода дают сходные результаты, а при переходе к случаю тонкого кристалла [3], когда одна из амплитуд двухволнового приближения дает малый вклад в интенсивность, совпадают полностью [4]. В настоящей работе анализируются радиационные потери на параметрическое рентгеновское излучение в условиях трехволновой дифракции, развиваются и обосновываются методы интегрирования для последующих применений в режиме многоволновой дифракции, в том числе и для корректных численных расчетов. В компланарном случае, когда плоскости реакций k₀, k₁ и k₀,, k₂ оказываются в плоскости волновых векторов обратной решетки tau₁, tau₂, tau₃, образующих правильный треугольник (рис. 1), система неоднородных уравнений для фурье-амплитуд E₀, E₁, E₂ распадается на две отдельные системы для каждого состояния поляризации s=pi или s=sigma (орт sigma перпендикулярен плоскости k₀, k₁) [!tb] l(1&+g₀-k²c²/omega²r) E_0s + c_sg(tau₁)E_1s + c_s g(tau₃) E_2s & = 8pi² ie vtheta p_s delta(omega-k₀v)/omega, c_sg(tau₁) E_0s + (1+g₀-k₁²c²/omega²) E_1s + c_sg(tau₂) E_2s =0, c_sg(tau₃) E_0s + c_s g(tau₂) E_1s + (1+g₀ - k₂²c²/omega²) E_2s = 0, (1) где p_sigma=sinphi, p_pi=cosphi, c_sigma, c_pi=cos2theta_B, theta_B=60^o; theta и phi - полярный и азимутальный углы вектора k₀ (рис. 1); e и v - заряд и скорость частицы; g₀=g'₀+ig''₀, g(tau)=g'(tau)+ig''(tau) - пространственные фурье-амплитуды поляризуемости кристалла; g'(tau) и g''(tau) - действительная и мнимая составляющие g(tau). Поглощение считается слабым g''<<|g'|, причем в одноатомном кристалле g'(tau) <0, g''(tau)=g''₀e^-W, где e^-W - фактор Дебая-Уоллера. В центросимметричных кристаллах, например Ge и Si, поляризуемости g(tau₁), g(tau₂), g(tau₃) оказываются отличными от нуля и совпадающими при h+k+l=4n, где tau=2pi(h,k,l) [6]. Из условия обращения в бесконечность (при малом поглощении) амплитуд E₀, E₁, E₂ находим угол theta=theta₀(phi) испускания излучения в зависимости от азимута phi, определяющий конус параметрического рентгеновского излучения (рис. 1), [b] 3theta²cos²phi =& [theta²-nu-c²_sg²(z₀+theta²)^-1 ]² & - c²_s g² [1 + c_sg(z₀+theta²)^-1 ]², (2) где z₀=gamma^-2-g'₀; nu=3(omega-omega_B)/omega_B+g'₀+gamma^-2/2; omega_B = ctau/2 sintheta_B; g=g'(tau); gamma - лоренц-фактор частицы, который предполагается не малой величиной gamma^-2=<sssim |g|. Если частота излучения не слишком близка к omega_B, когда частотная отстройка nu оказывается полядка sqrt(|g|)sqrt, для угла theta₀ получаем theta₀ = |nu|/sqrt(3)sqrt Таким образом, для указанных частот nu~sqrt(|g|)sqrt излучение возможно как для верхней части конуса |phi|<pi/2, так и для нижней части |phi|>pi/2, где оно было невозможно при nu>0 в условиях двухлучевой дифракции [4]. Это обстоятельство приводит к удвоению радиационных потерь в условиях трехлучевой компланарной дифракции. Действительно, вычисляя силу торможения частицы собственным полем излучения F= (e v/v(2pi)⁴) E₀(k₀,omega) d³ k₀ domega, где d³ k₀-> theta dtheta dphi (omega_B²)/(vc²) domega, и учитывая при обходе полюса theta=theta₀, т. е. если переменная интегрирования theta имеет малую мнимую положительную составляющую, то полюс обходится сверху, что сводится к умножению на -pi i, для дифференциальной по азимуту спектральной плотности радиационных потерь получаем (d²W_s)/(domega dphi) = e²g²omega_Bp_s²c_s² |nu|³/pi c²(nu² + 3z₀cos²phi)². (4) [!b] С приближением к азимуту phi=pi/2 угол испускания theta₀ начинает значительно превышать характерную величину sqrt(z₀)sqrt, однако интенсивность излучения для рассматриваемых частот nu~ sqrt(|g|)sqrt, как следует из (4), по-прежнему оказывается порядка e²g²omega/c²sqrt(z₀)sqrt (рис. 2). Узкая область азимутов |phi± pi/2|=<sssim sqrt(|g|)sqrt дает малый вклад в интеграл в пределах от -pi до pi. Поэтому интегрированием (4) приходим к следующим спектральным распределениям dW_sigma /domega = I (1+nu²/3z₀)^-1/2,    I = e²g²omega_B/c²sqrt(3z₀)sqrt dW_pi/domega = Enu² /12 z₀(1+nu²/3z₀)^3/2. (5) Найденные зависимости, как и ожидалось, вдвое превышает спектральные распределения двухлучевой дифракции параметрического излучения, причем максимум dW_pi/domega достигается при nu=nu_m = sqrt(2r₀/3)sqrt (сплошные кривые на рис. 3). По аналогии можно ожидать, что открытие нового канала для излучения в условиях четырехлучевой дифракции приведет к утроению радиационных потерь, а в условиях шестилучевой дифракции радиационные потери будут в среднем в пять раз выше. Анализ значительно усложняется вблизи брегговской частоты omega_B, когда nu~ |g|. Угол испускания излучения оказывается значительно меньше типичных значений ~ sqrt(|g|)sqrt, если |phi± pi/2| >~= sqrt(|g|)sqrt, [b] theta₀ = & [(nu - c²_sg²/z₀)² [2mm] &- c_s²g²(1+c_sg/z₀)²]^1/2 / sqrt(3)sqrt Важнейшим следствием (6) является существование интервалов частот, где theta₀²<0, запрещенных для излучения по всему конусу (за исключением симметричных точек с азимутами ± (pi)/(2)), nu_-=< nu=< nu₊. Для sigma-поляризации nu_-=g, nu₊=-g-2g²/z₀; для pi-поляризации nu₊=-g/2, nu_-=g/2-g²/2z₀. В указанном интервале частот d²W/domega dphi=0 (рис. 2), а вне его интенсивность излучения мала (-e²omega g²nu³/c²z₀²). [!tb] В узкой области азимутов вблизи ± pi/2 границы nu_± начинают зависеть от phi, что приводит к "размытию" запрещенной для излучения зоны. Рассмотрим более детально точку с азимутом phi=pi/2. Предварительно нормируем величины theta², nu, g на положительную константу z₀, а соответствующие нормированные величины обозначим через x, nu₁, g₁. Тогда для квадрата угла испускания x находим два значения x₃ = [nu₁+g₁-1+sqrt((nu₁+g₁+1)²+8g₁²)sqrt x₄ = nu₁-g₁. (7) Соответствующий угол theta₄ не дает вклада в потери, поскольку E₀(theta₄)=0. Отметим, что для рассматриваемых частот nu₁~ 1, x₃~ 1, т. е. угол испускания излучения theta₃~ sqrt(z₀)sqrt. Дифференциальную по азимуту спектральную плотность находим по аналогичной (4) схеме [b] (d²W_sigma)/(domega dphi)=& e²omega_B g²x₃ /pi z₀c²(1+x₃) [2mm] &xsqrt((nu₁+g₁+1)²+8g₁²)sqrt Максимум частотной зависимости (8) оказывается порядка e²omega g²/c²z₀, а его узость ~ z₀~ 10^-5 (рис. 2). Таким образом, оказываясь на два-три порядка более узким, максимум спектрального распределения (8) становится вместе с тем на два-три порядка выше по сравнению с другими направлениями на конусе. Это приводит ко вкладу в спектральную плотность, сравнимую с (5), а также к смещению максимума спектрального распределения вправо от брегговской частоты (рис. 3), т. е. к значительной асимметрии спектрального распределения. [!tb] С целью более корректного учета вклада областей |phi± pi/2| =<sssim sqrt(z₀)sqrt в спектральную плотность радиационных потерь проведем вначале интегрирование по азимуту phi, а затем по полярному углу theta. Основной вклад вблизи брегговской частоты omega_B дает sigma-поляризация, поскольку (при phi=pi/2) p_pi=0, так что узкий максимум (рис. 2) для pi-поляризации отсутствует. Зависимость азимута phi от полярного угла theta на конусе излучения находим из (2) cos²phi = z₀ (x-nu₁+g₁) (z-nu₁-g₁-2g₁²(1+x)^-1) / 3x. (9) Для разных частот излучения зависимость cos²phi от x иллюстрируется на рис. 4, где x₁=z₀(nu-nu_-)(nu-nu₊)/3, а точки x₃, x₄, отвечающие phi=± pi/2, находятся с помощью соотношений (7). Отметим, что с уменьшением частоты nu₁ вначале обращается в нуль x₃ (при nu=nu₊), а затем и x₄ (при nu=nu_-) (рис. 4). Таким образом, в зависимости от частоты спектральная плотность будет выражаться через один или два интеграла (dW_sigma)/(domega) = I_x1^x₃ f₁f₂ dx + I_x4^3/z₀ f₁ f₂ dx,   nu<=nu₊, I_x4^3/z₀ f₁ f₂ dx, nu_-=< nu=< nu₊, I_x1^3/z₀ f₁ f₂ dx, nu =< nu_-, (10) где f₁ = (x-nu₁+g₁)^1/2 (x-nu₁-g₁-2g₁²(1+x)^-1)^-1/2, f₂ = 2(x-x₁)^1/2 /pi(1+x)². Поскольку f₁(x)<1, то для интересующих нас значений omega вблизи брегговской частоты omega_B, например nu=nu_-, из (10) немедленно следует, что dW/domega <I. Более точные оценки показывают возможность понижения максимума по сравнению с I более чем на 15-20%. Таким образом, запрещенная для излучения область частот проявляется также и в интегральной характеристике - спектральной плотности излучения (рис. 3). В частности, при проведении численных расчетов вблизи omega_B нужно уменьшать шаг следования на один-два порядка. Если границы тонкого кристалла перпендикулярны скорости частицы (рис. 1), то для получения интенсивностей излучения в направлениях k₁, k₂ следует соответствующие характеристики (4), (5), (8), (10) умножить на L/2, где L - толщина кристалла. Разумеется, суммарная интенсивность излучения, поделенная на L, будет совпадать с радиационными потерями с единицы длины.

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.