Температура является одним из наиболее трудно управляемых и в то же время наиболее важных термодинамических параметров. Регулирование температуры какого-либо объекта, будь то промышленная установка или интегральная микросхема, связано с определенными трудностями общего характера. Одна из них состоит в том, что при увеличении глубины обратной связи, необходимом для повышения точности активного термостатирования, система стабилизации температуры может терять устойчивость. Таким образом, возникает проблема определения предела устойчивости систем стабилизации и регулирования температуры. Ниже рассматривается бифуркация рождения цикла в классе систем пропорционального регулирования температуры. 1. Независимо от устройства и назначения таких систем, их всегда можно условно разделить на нелинейную внешнюю цепь обратной связи, имеющую сосредоточенные параметры, и распределенный объект управления (рис. 1). Математическую модель такой системы можно представить в виде записанной в безразмерных переменных краевой задачи теплопроводности с нелокальным граничным условием [1] T(x,t)=T''(x,t),    T(0,t)=0, (1) T'(x,t)|_x=1=f[1-T(x₀,t)]sigma[1-T(x₀,t)], (2) где x₀]0,1[, f - некоторая гладкая функция температуры; sigma - функция Хевисайда, отсекающая от f ветвь положительной обратной связи. В работе [1] рассматривался частный случай квадратичной нелинейности вида f=[1-T(0,5;t)]². Поскольку f может содержать кубические члены, влияющие на режим бифуркации рождения предельного цикла, то необходимо исследовать более общий случай (2) нелинейной обратной связи. 2. Рассмотрим стационарные и периодические решения краевой задачи (1), (2). Ее стационарное решение имеет вид T(x)=Cx, где C - корень нелинейного уравнения C=f(1-Cx₀). (3) Практически для всех систем пропорционального регулирования температуры f - положительная, вогнутая во всей области определения функция =<ft. f[1-T(x₀,t)]&>0 d f/d C= A&<0 [2mm] d²f/d T²&>0 T [0,1], такая что f'(0)=0. В силу этих условий уравнение (3) имеет единственный корень, для которого A<0 и соответствующее стационарное решение устойчиво. 3. Пусть теперь на стационарном решении T=Cx установились такие автоколебания T(x,t)=T(x)+u(x,t), что |u(x₀,t)|<< |T(x₀)|. Тогда f можно разложить в ряд Тейлора по степеням нестационарной температуры u(x₀,t) [b] f[1-T(x₀)&-u(x₀,t)]= C+(A)/(x₀)u(x₀,t) [2mm] &+ f''(u²(x₀,t))/(2!)+ f'''(u³(x₀,t))/(3!)...+, (4) где f⁽ⁿ⁾ - n-я производная при T=T(x₀). [!tb] Схема системы стабилизации температуры. 1 - распределенный объект управления, 2 - цепь обратной связи, 3 - регулятор, 4 - источник энергии, 5 - термостат. 4. Рассмотрим линеаризованную на стационаре краевую задачу u(x,t)=u''(x,t), u(0,t)=0, u'(x,t)|_x=1=(A)/(x₀) u(x₀,t). (5) Ее периодическим решением будет функция u(x,t)=xi(sqrt(iomega x)sqrt и комплексно сопряженная к ней. Условие, налагаемое обратной связью на комплексную амплитуду колебаний температуры в точках x₀, позволяет определить критическое значение A_c=A(omega_c) A_c=Re sqrt(iomega_c)sqrt где omega_c - тот из корней уравнения [b] &()/()((omega)/(2))sqrt для которого A(omega_c)>A(omega_n) при любых n. 5. При A>A_c нулевое состояние равновесия краевой задачи (1), (2) локально экспоненциально устойчиво, а при A<A_c оно теряет устойчивость колебательным образом. Пусть A=A_c(1+varepsilon),    0<varepsilon<<1, (9) тогда при ограничении (9) для доказательства существования и устойчивости автоколебаний у нелинейной краевой задачи (1), (2) применима бифуркационная теорема Андронова-Хопфа [2]. Введем обозначения Theta(x,t)=(f'')/(2) u(x,t);    gamma=(f''')/((f'')²) (10) и преобразуем краевую задачу (1), (2) к виду Theta(x,t)=Theta''(x,t),    Theta(0,t)=0, Theta'(x,t)|_x=1= (A_c(1+varepsilon))/(x₀) Theta(x₀,t)+Theta²(x₀,t)+ (4)/(3)gammaTheta³(x₀,t). (11) Полагая t=(1+c)tau; c=c₂xi²+c₄xi⁴+...; varepsilon=b₂xi²+b₄xi⁴+... , Theta(x,tau)=xiTheta₁(x,tau)+ xi²Theta₂(x,tau)+... , (12) получим рекуррентную последовательность линейных неоднородных краевых задач для определения Theta₁, Theta₂,... . Theta₁(x,tau)=Theta''₁(x,tau), Theta₁(0,tau)=0, (13) Theta'₁(x,tau)|_x=1= (A_c)/(x₀)Theta₁(x₀,tau), Theta₂(x,tau)= Theta''₂(x,tau), Theta₂(0,tau)=0, Theta'₂(x,tau)|_x=1= (A_c)/(x₀)Theta₂(x₀,tau)+ Theta²₁(x₀,tau); (14) Theta₃(x,tau)=Theta''₃(x,tau)+ c₂Theta''₁(x,tau), Theta₃(0,tau)=0, [b] Theta'₃(x,tau)|_x=1&= (A_c)/(x₀)[Theta₃(x₀,tau)+ b₂Theta₁(x₀,tau)] [2mm] &+2Theta₁(x₀,tau)Theta₂(x₀,tau)+ (4)/(3)gammaTheta³₁;... , (15) первая из которых совпадает с задачей (5). Решение задачи (14) имеет вид Theta₂=2(=<ft|V₁(x₀)|²)/(1-A_c) x+V₂(x)e^i2omegatau+V^*₂(x)e^-i2omegatau, (16) где V₂(x)= (V²₁(x₀))/()sqrt(i2omega)sqrt V₁(x) - решение задачи Штурма-Лиувилля для краевой задачи (5). Из условия разрешимости [b] (c₂)/(2)& =<ftiomega(V₁(1))/(V₁(x₀))- (A_c)/(x₀) [x₀(V'₁(1))/(V₁(x₀))-1] [2mm] &+(A_c)/(x₀)b₂+=<ft|V₁(x₀)|² [(2)/(z)+4(gamma+(x₀)/(1-A_c))]=0 (18) третьей задачи последовательности найдем ляпуновские коэффициенты c₂=4(x₀)/(A_c) =<ft|V₁(x₀)|² (z₂)/(p₂|z|²), [b] b₂=&-(x₀)/(A_c) =<ft|V₁(x₀)|² [(2)/(|z|²) (z₁+(p₁)/(p₂)z₂)+ 4(x₀)/(1-A_c)] [2mm] &-4(x₀)/(A_c) =<ft|V₁(x₀)|²gamma, (19) где z=z₁+iz₂= ()/()sqrt(i2omega)sqrt p₁+ip₂= 1+(x₀)/(=<ft|V₁(x₀)|²) [(iomega)/(A_c) V₁(1)V^*₁(x₀)-V'₁(1)V^*₁(x₀)]. (20) Подставляя Theta₁, Theta₂ и xi=sqrt(varepsilon/b₂)sqrt в u(x,t)=(2/f'')[xiTheta₁(x,tau)+xi²Theta₂(x,tau)], получим окончательный вид периодического решения задачи (1), (2) u(x,t)=& (2)/(f'') gl sqrt((varepsilon)/(b₂))sqrt ()=_c 1+(c_2/b_2).В работе [1] () и _c ошибочно переставлены местами. (21) Последнее соотношение справедливо только в том случае, если коэффициент b_2 положителен и имеет место мягкая бифуркация рождения цикла, т. е. амплитуда колебаний стремится к нулю при 0. Графики зависимостей c_2(x_0) и b_2(x_0,0) представлены на рис. 2. Из рис. 2 и второго из соотношений (19) видно, что при f'''>0 параметр b_2 всегда положителен, тогда как при f'''<0 знак b_2 может быть и положительным, и отрицательным в зависимости от и x_0 (рис. 3). Это означает, что возможны как мягкая, так и жесткая бифуркация рождения цикла. Наконец, при f''=0 система линейна и амплитуда колебаний в закритической области бесконечна. Результаты нелинейного анализа хорошо согласуются с общими представлениями о нелинейности как о факторе, ограничивающем амплитуду автоколебаний за счет перераспределения энергии между первой и высшими гармониками. С этой точки зрения роль квадратичной нелинейности является чисто "диссипативной", поэтому в отсутствие кубических членов в разложении (4) автоколебания в параболической системе возникают всегда мягко (рис. 2). Кубическая нелинейность более "консервативна", поскольку часть энергии возвращает в виде колебаний основной частоты. Если коэффициент при кубической нелинейности положителен, т. е. A_c и f''' имеют разные знаки, то эта дополнительная энергия поступает в противофазе с основной частотой, уменьшая тем самым амплитуду колебаний. И в этом случае автоколебания возникают мягко (рис. 3, кривая 2 - b_2(x_0,)>b_2(x_0,0) и (x_0,)<(x_0,0)). Если же f'''<0, то энергия поступает в фазе с первой гармоникой, и ее амплитуда растет (x_0,)>(x_0,0) (рис. 3, кривая 3). При определенном соотношении между производными и значении x_0 возврат энергии кубической нелинейностью будет превышать ее диссипацию за период до тех пор, пока амплитуда колебаний остается малой. Баланс энергии наступает, когда амплитуда автоколебаний достигает определенной (не малой) величины. Этому режиму возбуждения автоколебаний, называемому жестким, соответствует область отрицательных значений параметра b_2 на кривой 3 (рис. 3). [!tb] Зависимость от x_0 ляпуновских коэффициентов c_2(x_0), b_2(x_0,0) для системы с квадратичной нелинейностью (=0). [!tb] Зависимость от x_0 нормированного на b_2(x_0,0) ляпуновского коэффициента b_2(x_0,). : 1 - 0, 2 - 0.01, 3 - -0.01. В подавляющем большинстве систем регулирования температуры используются источники Джоулева тепла, для которых f должна быть квадратичной функцией температуры. В действительности же f содержит ряд температуронезависимых параметров, приводящих к появлению в (4) кубических членов. По этой причине поведение систем с одинаковой схемой регулирования температуры в закритической области может существенно отличаться. Результаты настоящей работы позволяют дать однозначное объяснение этому явлению.

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.