Последнее десятилетие квантовый транспорт в мезоскопических системах интенсивно изучается как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения [1-3]. Для систем мезоскопических колец в магнитном поле особый интерес представляет изучение связи между коэффициентом прохождения и величиной поля, точнее магнитным потоком Phi [1,4-6]. В частности, работа [5] посвящена изучению резонансных транспортных явлений в системе серийно соединенных колец. Установлено, что все состояния, близкие к Phi₀/2 (Phi₀ - квант магнитного потока), являются анитрезонансными. В нашей статье предлагаются три явно решаемых модели, основанные на теории расширений операторов [7-9]. В первой модели рассмотрена система колец Ааронова-Бома, связанных в бесконечную цепь. Показано, что при условии Phi=Phi₀(1/2+k), k - целое, спектр состоит только из локализованных состояний. Во второй модели периодическая система колец связана с бесконечным квантовым проводом. Условие локализации включает соотношение между радиусом колец и длиной отрезка провода между двумя соседними точками соединения. Кроме того, в спектре есть и делокализованные состояния. Третья модель описывает квадратную решетку колец, соединенных в точках касания. Здесь показано наличие локализованных состояний и отмечены свойства спектра, аналогичные соответствующим свойствам для квантового биллиарда. Кольцо Ааронова-Бома радиуса R с магнитным потоком Phi описывается гамильтонианом H^AB₀=(h²)/(2m^*R²) ( -(d²)/(dphi²) +2i(Phi)/(Phi₀) (d)/(dphi) + ( (Phi)/(Phi₀) )² ), где m^* - эффективная масса носителя заряда, phi - полярный угол. Известно, что спектр H^AB₀ состоит из собственных чисел E_m=(h²)/(2m^*R²) ( m-(Phi)/(Phi₀) )²,    m Z, которым соответствуют нормированные собственные функции psi_m(phi)=exp(imphi)/sqrt(2pi R)sqrt. -1 Пространство состояний для кольца есть H^AB₀=L₂(S_R), где S_R - круг радиуса R. Пространство состояний H^AB₀ для бесконечной системы изолированных колец есть ортогональная сумма пространств H^AB₀. Чтобы "соединить" кольца, использован метод теории расширений [7,9-11]. Рассмотрим множество D^AB₁ функций из области определения оператора H^AB₀, обращающихся в нуль в точках phi=0 и phi=pi. Ортогональную сумму D^AB₁ обозначим D⁽¹⁾, а сужение H^AB на это множество - S⁽¹⁾. Гамильтониан модели ищем среди самосопряженных расширений S⁽¹⁾. Для описания расширений удобно пользоваться формулой Крейна для резольвент [b] G⁽¹⁾(zeta)=& G^AB(zeta) &-Gamma⁽¹⁾(zeta) [ Q⁽¹⁾(zeta)+A ]^-1 Gamma^(1)*(zeta), (1) где A - самосопряженный оператор в l₂(Z) C², Q⁽¹⁾, Gamma⁽¹⁾ - так называемые Q- и Gamma-функции Крейна оператора S⁽¹⁾. В нашем случае Q-функция Q⁽¹⁾(zeta) есть аналитическая оператор-функция, действующая в гильбертовом пространстве l₂(Z) C², а Gamma-функция Gamma⁽¹⁾(zeta) действует из l₂(Z) C² в H^AB, причем они находятся явно. Оператор A представляется с помощью блочной матрицы ||A_m,n||, каждый элемент которой A_m,n есть 2x 2-матрица. Учитывая серийность соединения колец, выбираем матрицы следующим образом: A_m,n=0, при m# n± 1 и A_m,m-1= 0 & tau 0 & 0 ,    A_m,m+1= 0 & 0 tau & 0 , где tau# 0 - вещественный параметр, зависящий от свойств контакта между кольцами. В результате получаем следующее дисперсионное уравнение: -7pt[b] (m^*)/(h²E)sin²& l( pi Rsqrt(2m^*E)sqrt + tau² ( cos (2pi Rsqrt(2m^*E)sqrt где 0=<q p <1 - квазиимпульс. Уравнение (2) показывает, что для Phi=(1/2+n)Phi₀, n - целое число, спектр H⁽¹⁾ состоит только из собственных значений E_m, не зависящих от квазиимпульса p. Эти значения являются корнями уравнения tg² l( pi Rsqrt(2m^*E)sqrt Рассмотрим систему колец, подсоединенных к бесконечному проводу. А именно, соединим n-е кольцо с проводом в точке x_n=a_n, a>0, n=0,±1,±2,... . Пространство состояний системы: H=L₂(R) H^AB. Строим модель аналогично предыдущему случаю. Здесь только добавляется одномерный гамильтониан для оси H_free=-(h²)/(2m^*) (d²)/(dx²). Не описывая вновь построение, которое аналогично предыдущему случаю, укажем результат. Дисперсионное уравнение имеет вид [b] (1)/(h)sqrt((m^*)/(2zeta))sqrt Отметим, что левая часть (3) совпадает с известным выражением в модели Кронига-Пенни [8]. Дисперсионное уравнение показывает, что спектр H⁽²⁾ имеет зонную структуру; E=E_s(p), p T, s=1,2, ... . Найдем условие появления локализованных состояний в спектре H⁽²⁾. Пусть E_k=pi²h²k²/(2m^*a^*), k=1,2,... есть собственные значения для интервала длины a с условиями Дирихле на концах. Уравнение (3) показывает, что E_k будут локализованными состояниями в спектре H⁽²⁾, если поток Phi удовлетворяет условию Phi= ( ±(pi R)/(a)k+n )Phi₀ (4) для целого n. Отметим, что если a=lpi R для некоторого целого l, то условие (4) выполнено для всех k. Но даже в случае a=pi R спектр H⁽²⁾ содержит кроме уровней E_k делокализованные состояния. В этом случае непрерывные зоны спектра задаются дисперсионным соотношением [b] cos (2pi p)=& (m^*)/(2tau²h²E) cos (pi Rsqrt(2m^*E)sqrt Рассмотрим теперь квадратную решетку касающихся колец Ааронова-Бома. Будем здесь дополнительно предполагать, что поле B есть сумма B= B₀+ B_AB. Первый член есть однородное магнитное поле B₀. Дополнительный член B_AB описывает магнитное поле, созданное периодической системой бесконечно тонких соленоидов (соленоидов Ааронова-Бома), находящихся в центре каждого кольца. Предполагаем, что магнитный поток в каждом соленоиде одинаков и равен Phi_AB. В этой ситуации гамильтониан H_AB электрона в кольце есть самосопряженный оператор в пространстве H_lambda=L²( S_lambda) ( S_lambda - круг радиуса R), имеющий вид 10000 [b] H_AB=&-(h²)/(2m^*) (1)/(R²) (d²)/(d phi²) +(ih e)/(2m^*c) ( B₀+(Phi_AB)/(pi R²) ) (d)/(dphi) [2mm] &+ (e²)/(8m^*c²) ( B²₀R² +(2B₀Phi_AB)/(pi) +(Phi²_AB)/(pi²R²) ), (5) где m^* и e есть масса и заряд частицы соответственно. Пусть Phi - полный магнитный поток через кольцо: Phi=(pi R²B₀+Phi_AB)/Phi₀, где Phi₀=h c/e - квант магнитного потока. Пусть eta=4R²B₀/Phi₀ - поток однородной компоненты поля через элементарную ячейку решетки. Связь между кольцами задаем, используя схему теории расширений операторов, действуя в духе подхода работы [12]. При этом мы принимаем во внимание, что гамильтониан модели должен быть инвариантен относительно группы магнитных трансляций. В итоге приходим к следующему результату. Пусть eta - рациональное число: eta=N/M. Тогда спектр модельного самосопряженного оператора H_A состоит из двух частей: sigma₁ и sigma₂. Первая, sigma₁, состоит из (бесконечно вырожденных) собственных значений H_A, которые являются одновременно собственными значениями varepsilon_n оператора H_AB. Вторая часть, sigma₂, есть зонный спектр H_A. Этот спектр состоит из зон Z₀, Z₁, Z₂,..., Z_l,..., лежащих на интервалах ([-бесконечность,varepsilon₃], [varepsilon₀,varepsilon₄], [varepsilon₁,varepsilon₅],..., [varepsilon_n,varepsilon_n+4]... (зона Z₀ может быть пуста) ); каждая зона Z_n, n>=q 1, делится на M "магнитных" подзон. Для фиксированного значения квазиимпульса каждая точка sigma₂ вырождена с кратностью M. [!tb] Различные типы квазиклассических траекторий в массиве квантовых антиточек: 1 - замкнутые траектории, не охватывающие квантовых антиточек; 2 - незамкнутые траектории, описывающие распространение электрона; 3 - замкнутые траектории, охватывающие одну или несколько антиточек. Далее, если полный поток Phi не является четным целым, то часть sigma₁ при произвольном выборе модельных параметров, вообще говоря, пуста. Если Phi - четное целое, то sigma₁ содержит все собственные значения H_AB. Существует и другая возможность появления связанных состояний в спектре sigma(H_A) - оно может появиться как "вырожденная подзона". А именно, если eta целое: eta=N, то при определенном выборе модельных параметров дисперсионное уравнение имеет решение, независящее от квазиимпульса. Таким образом, если поток однородной компоненты магнитного поля eta есть целое число и полный поток Phi через кольцо - четное целое, то спектр модельного гамильтониана H_A для квадратной решетки связанных колец Ааронова-Бома состоит из трех частей: 1) уровни изолированного кольца; 2) зонный спектр (зоны, расщепленные на "магнитные подзоны"); 3) связанные состояния, удовлетворяющие дисперсионному уравнению и не совпадающие с уровнями изолированного кольца. Отметим, что такая же структура спектра имеется и в модели квантового биллиарда - периодического массива квантовых антиточек (см. [12]). При этом разным частям спектра соответствуют разные квазиклассические траектории электрона: 1) замкнутые траектории, не охватывающие квантовых антиточек; 2) незамкнутые траектории, описывающие распространение электрона по решетке; 3) замкнутые траектории, охватывающие одну или несколько антиточек (см. рисунок). Таким образом, со спектральной точки зрения построенную модель можно считать в некотором смысле простейшей моделью квантового биллиарда. Работа частично поддержана грантом РФФИ.

Подсчитывается количество просмотров абстрактов ("html" на диаграммах) и полных версий статей ("pdf"). Просмотры с одинаковых IP-адресов засчитываются, если происходят с интервалом не менее 2-х часов.

Дата начала обработки статистических данных - 27 января 2016 г.